Las dos álgebras

Tenemos a un señor con su cátedra y se dispone a redactar su ensayo. El ensayo, en sus pretensiones, pretenderá ser lo más riguroso dentro de su materia. Para ello se valdrá de herramientas como referencias a otros trabajos, o de mediciones hechas que deben ser inteligentemente combinadas, habrá un proceso de cocina para la depuración de toda la información y, por consiguiente, una hipótesis de partida sobre lo que condiciona un trabajo de investigación personal.

Muchos me querrán corregir, ya que los ensayos suelen tratar sobre las investigaciones que se han hecho de antemano y, en ocasiones, suelen mezclarse con los ensayos que expresamente inician alguna comprobación adhoc para falsar o corroborar ciertas hipótesis. Está claro que resulta más fácil trabajar primero, recopilar datos y tomar las conclusiones a posteriori.

Ese señor o señora, con su cátedra, tendrá que valerse de alguna disciplina para defender alguna suerte de notación que haya inventado para recopilar todos sus apuntes de la manera más eficiente. Es decir, con una suerte de funcionalidad, los símbolos buscarán no ser repetitivos allá donde la repetición no incorpore información de interés, y tampoco habrá demasiada economicidad pues también se desea que la notación sea inteligible. La mayoría de los símbolos que suelen usarse suelen ser acrónimos, formatos de trama (cómo se llaman a los documentos con símbolos especiales), operaciones que incorporen simetrías de grupo y ya, en última instancia, álgebras no lineales o incluso ininteligibles en cuanto a que sean producto de cómo es invocada la máquina para que las use.

Visto así, esa notación de la que hablaba podría llamarse "álgebra", pues tiene una serie de reglas que ayuda a crear una suerte de isomorfismo. Es decir, nos valemos de ese álgebra por la sencilla razón de que es más funcional que si vamos repitiendo las largas palabras, sus formulaciones, etc...

En esa economicidad del lenguaje observamos que aún nos restan dos filosofías a la hora de constituir esas álgebras - lo cual es el late motiv de este blog. 

Un álgebra se compone de elementos y comportamiento. Cuando la notación solo es un glosario de acrónimos parecería que no existe ninguna clase de comportamiento, y no es así: el comportamiento de los elementos consiste en las reglas de composición de siglas - es decir, en qué sentido podemos combinar unas siglas con otras y relacionarlas entre sí. Por tanto, siempre existe un comportamiento o relaciones y operaciones entre los elementos.

No me parecerá interesante ahora mismo distinguir entre relación y operación, pues la diferencia estriba en que la operación es la relación que devuelve un elemento del grupo, por lo que se puede considerar una relación más restrictiva. Pero sí se tomará en consideración cuál es la naturaleza de todo el comportamiento, más en concreto: si el comportamiento queda definido por los elementos o si los elementos deben encajar a partir de un comportamiento dado.

A la filosofía que adecúa al comportamiento lo llamo formalismo, y a la que restringe el uso de los elementos a partir de su comportamiento constructivismo. Ambas filosofías constituyen una matemática independiente entre sí y, por tanto, tal álgebra confiere resultados exactos: son dos filosofías exactas que, al ser independientes, con exactitud pueden entrar en contradicción.

La contradicción de dos álgebras radica en la idea de funcionalidad o, por así decirlo en términos más generales, en la idea de eficiencia. La eficiencia de un proceso se puede dividir en dos constantes: la que hace de exponente al tamaño de la entrada y la que multiplica a la operación anterior. Cuando le damos importancia a la adecuación de la máquina a la realidad obtenemos una eficiencia formalista, mientras que si nos centramos en la explosión combinatoria del comportamiento de los símbolos la eficiencia es constructivista.

De la misma manera, las máquinas de Turing entrenadas a partir de las entradas que van a invocarlas bien pueden ser llamadas máquinas de Turing formales, pues equivalen a un manual de instrucciones. Mientras que las máquinas de Turing que arropan un comportamiento con independencia de los valores que adquiera la cinta serán llamadas simbólicas, pues trabajan con símbolos y no con formas. Y esos símbolos, bajo la filosofía constructivista, conformarán nuevos símbolos - distinto de lo que es una forma, que probablemente no pueda ser invocada tras un número máximo de operaciones debido a su carácter difuso.

Adecuar la notación a los resultados del científico ofrece una perspectiva participativa del científico dentro de su propio cierre categorial, tal como lo define Gustavo Bueno. Mientras que si en vez de usar un enfoque formalista opta por desarrollar una notación constructivista, entonces deberá reusar de principos lógicos como el de la complementariedad y considerará que las afirmaciones que no se hayan construido a partir de las piezas más pequeñas no podrán ser aceptadas, esto es: las demostraciones al absurdo solo son formalismos y de la mezcla puede emerger las limitaciones de dicha notación para avanzar en potencia.

Ya había comentado que había como cuatro grados de potencia en la notación escogida por el científico, clasificamos las álgebras como de: acrónimos, formatos, grupos y no lineales. La mezcla de comportamientos formales con comportamientos constructivistas provocará que las máquinas de Turing, sin restricciones algebraicas, choquen entre ellas: una máquina de Turing simbólica no puede trabajar con formalismos. De ahí, que la limpieza de tales filosofías conlleven a resultados no lineales que puedan ser aprovechables.

Nótese cuál es la manera que se tiene a la hora de ver las afirmaciones que son indeterminadas en cada una de las dos álgebras: si es formal usaremos una lógica abierta, en el sentido de que toda afirmación que no pueda ser refutada se podrá dar por valída. Si el álgebra es constructivista la lógica se vuelve cerrada, pero no de manera complementaria: toda afirmación que no pueda ser construida se deberá dar por no válida. La capacidad que se tenga para decidir si algo se puede o no construir y la capacidad que se tenga para decidir si algo entra o no en contradicción es la capacidad de decibilidad que tiene ese elemento dentro de cada filosofía. 

Eso quiere decir que habrá afirmaciones de las que sabremos decidirnos con más o menos calidad, y la realidad que vivamos puede que se ajuste en la práctica a resultados que funcionen suficientemente bien en contradicción con lo que nos dirían modelos más teóricos. Ante una confrontación así las matemáticas no podrán precisar cuál de las dos posturas es más precisa, porque ambas álgebras son exactas.