El Gran Error de Principios del siglo XXI

En los años '20 del siglo pasado se cometió un error de bulto que se fue subsanando gracias a las máquinas de Turing (y otras notaciones y estudios por el estilo). Entonces había una filosofía errónea en la ciencia..., como nos pasa hoy día en otros aspectos.




Hoy voy a pavonearme ante vosotros de cultura filosófica científica superdesarrollada. Al fin y al cabo, ¿acaso no soy un experto en lógica y filosofía científica? Entonces, por lógica, seguro que tengo algo muy trasgresor y pedagógico que contar.

Lo de trasgresor ya lo podéis imaginar..., lo difícil es lo pedagógico. Para eso hay que cogerle el tranquillo, buscarle un sentido sencillo que encaje con el pensamiento básico de los de esta época, y así conseguir comunicar la idea. Como no es fácil por eso no he escrito mucho sobre esos temas: la divulgación precisa estudio, mimo y talento.

Pero hoy me he levantado con una mirada hacia el horizonte, con algún ejemplo que podría ayudar a entender mis posiciones trasgresoras..., creo que sí ¡Pues vamos allá!

Hace tiempo alguien me preguntó qué es lo que me empujaba a defender dos posturas contrarias, si eso no me colocaba en la posición de los locos...


Empecemos con una historia para crear ambiente:

Estaban cuatro brillantes matemáticos perdidos en un bosque de los años '20. Siguiendo la vereda, acaban en una clara bifurcación para tener que elegir uno de dos caminos posibles: el de la derecha o el de la izquierda. Entonces Bertrand Russell dijo:

- En virtud de la amplitud de la vereda, el color de las hojas, la posición del musgo y el olor que se desprende, deduzco que esta senda nos acerca hacia la salida con mucha mayor probabilidad.

- Pues adelante - dijo Wittgenstein. Y se pusieron a andar.

Entonces el discípulo amado se percató que Gödel dudaba si ir mejor por el otro camino...

- ¡Pero qué haces insensato, no tenemos tiempo para incertidumbres!

- Resulta que con la ciencia de Russell llevamos ya perdidos mucho tiempo en el bosque, por lo que parece evidente que para conseguir un resultado opuesto sería mejor hacer lo contrario - respondió Gödel con cierta seguridad.

Dicho esto, Wittgenstein se dispuso a arrancar una rama de un árbol, cuando Russell, con el fin de disuadirle de hacer ninguna barbaridad le preguntó al cuarto matemático:

- ¿Y tú Popper? ¿Adónde recomendarías ir?

- Pues yo empezaría a andar por tu cambio, Bertrand y, si vemos que seguimos igual, daría la vuelta y probaría por el camino contrario otro ratito a ver qué tal.


Ciertamente, lo que no puede ser es pretender moverse por un terreno que nos es desconocido como si fuéramos expertos de cada palmo que pisemos. Lákatos (discípulo de Popper), ya propuso nunca desechar ningún camino, aunque quede demostrado que era malo. Lo que nos parezca malo muy probablemente nos lleve a senderos inimaginables con la lógica de nuestra ciencia.

Ahora volvamos al siglo XXI. El bosque se ha llenado de baldosas y la gente puede andar los parajes con seguridad. Algunos de esos parajes acaban en barrancos, como cierto barranco descomunal que muchos tienen que bordear. Un promotor de baldosas se da cuenta de que para llegar al otro lado necesitará un puente. Así que da la vuelta y descubre dos despachos instalados por ahí cerca: cada uno es llevado por dos matemáticos diferentes.

Al preguntarle por cómo construiría el puente un primer matemático menciona que existe un conjunto de chorros de vientos que cargarán sobre el puente y que, bajo el axioma de elección, deduce unas cargas para la construcción del puente y unos costes de ingeniería.

El promotor coge el presupuesto y le pregunta al otro matemático, éste le dice que existe un conjunto de brisas de vientos que cargarán sobre el puente y que, contrario al axioma de elección, deduce unas cargas para la construcción del puente y unos costes de ingeniería.

El promotor ahora tiene dos presupuestos, los dos son iguales de precio y generan el mismo puente. Sin embargo, uno de los modelos usa una definición de conjunto con el axioma de elección y el otro modelo usa una definición de conjunto partiendo de que dicho axioma no se cumple. Los dos resultados son exactos, pues son modelos matemáticos, y casualmente se aplican sobre una misma realidad. Por eso el promotor deduce que ambos modelos son correctos; lo que pasa es que usan dos términos simbólicos diferentes con un mismo nombre: conjunto.


Nos podemos imaginar ahora qué es lo que sucede: dos expertos pueden tener dos maneras diferentes de hacer lo mismo. Pero cada uno con sus definiciones y sus métodos. Es decir: dos filosofías que devuelven un mismo resultado por dos vías diferentes, aunque usen la misma palabra - por motivos históricos (pues la ciencia va desarrollando las definiciones para ahondar en asuntos de eficiencia de la notación). Es decir, se puede ser igual de eficaz (qué se hace) con diferente eficiencia (cómo se hace). Cada uno, en su filosofía, tendrá una manera de calcular los términos.

Pues bien, ése era el concepto difícil. Esa es la luz al final del túnel. Sólo hay que mirar todo lo andado, fijarnos por dónde nos hemos metido, qué cosas pudimos haber hecho y las que hemos sido capaces de representar o calcular..., podríamos imaginarnos la notación matemática más perfecta y que abarque todos los modelos posibles, sea cual sea.

Bajo esa gramática de cero restricciones se nos ocurre un problema de eficiencia: es cuestión de imaginarse el puente más sencillo que se nos ocurra que intente responder cuándo una notación es eficiente, si eso fuera posible. Cómo plantear el puente más sencillo que pretenda abordar ese tipo de empresa. Y, efectivamente, es cuestión de comprender que la manera de construir ese puente afectará a su destino. Como promotores, al no saber construir puentes, ni siquiera éramos capaces de imaginarnos cuál sería tal destino (pues sólo podríamos alcanzarlo gracias al puente). Y sí, no es normal construir puentes que conecten zonas transitadas con otras que sean vírgenes.

Pues bien, eso es lo que sucede: dependiendo de cómo definamos la notación matemática que modela nuestros problemas, se construirán los puentes de una manera o de otra, para obtener resultados de eficiencia diferentes. Es así que podemos decir que la exposición de un problema pueda estar clasificado dentro y fuera de una clase, pues son dos clases diferentes en virtud de cómo se constituyen dentro de la notación matemática sin restricciones que hayamos elegido.

Y, claro, ¿qué ejemplo tenemos de máquina sin restricciones gramaticales? La máquina de Turing.
¿qué ejemplo tenemos de problema de eficiencia? Si es posible que los problemas que se resuelvan en tiempo acotado polinomialmente con respecto al tamaño de la entrada sean los mismos tanto si los describimos de manera declarativa (NP), como si los describimos de manera algorítmica (P).

Por tanto se podría entender que P = NP y P <> NP.

Sin ir más lejos, un enfoque es el que permite construir nuestro puente exclusivamente sobre unos contrafuertes sostenidos sobre un terreno conocido, y no nos permitirá alcanzar ciertos resultados. Y el otro especula sobre entornos volátiles para acabar en terrenos pantanosos.